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<!DOCTYPE html>

<title>Viskoelastizität</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Viskoelastizität</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Als Viskoelastizität bezeichnet man ein teilweise <a href="Elastizit%C3%A4t_(Physik)" title="Elastizität (Physik)">elastisches</a>, teilweise <a href="Viskosit%C3%A4t" title="Viskosität">viskoses</a> Materialverhalten. Viskoelastische Stoffe vereinigen also Merkmale von <a href="Festk%C3%B6rper" title="Festkörper">Festkörpern</a> und <a href="Fl%C3%BCssigkeit" title="Flüssigkeit">Flüssigkeiten</a> in sich. Der Effekt ist <a href="Zeit" title="Zeit">zeit</a>-, <a href="Temperatur" title="Temperatur">temperatur</a>- und <a href="Frequenz" title="Frequenz">frequenzabhängig</a> und tritt bei <a href="Polymer" title="Polymer">polymeren</a> <a href="Schmelze" class="mw-redirect" title="Schmelze">Schmelzen</a> und Festkörpern wie z. B. <a href="Kunststoff" title="Kunststoff">Kunststoffen</a>, aber auch bei anderen Materialien auf.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Materialverhalten">Materialverhalten</h2></div>

<div class="sieheauch" role="navigation" style="font-style:italic;">Siehe auch: <a href="Rheologisches_Modell#Viskoelastizität" title="Rheologisches Modell">Abschnitt Viskoelastizität im Artikel Rheologisches Modell</a></div>

<ul><li>Der elastische Anteil bewirkt grundsätzlich eine spontane, begrenzte, <a href="Reversibler_Prozess" title="Reversibler Prozess">reversible</a> <a href="Verformung" title="Verformung">Verformung</a>,</li>

<li>während der viskose Anteil grundsätzlich eine zeitabhängige, unbegrenzte, <a href="Irreversibler_Prozess" title="Irreversibler Prozess">irreversible</a> Verformung bewirkt.</li></ul>

Viskoser und elastischer Anteil sind bei verschiedenen viskoelastischen Materialien jeweils unterschiedlich stark ausgeprägt, auch die Art des Zusammenwirkens differiert.

In der <a href="Rheologie" title="Rheologie">Rheologie</a> wird elastisches Verhalten durch eine <a href="Feder_(Technik)" title="Feder (Technik)">Feder</a>, das Hooke-Element, und viskoses Verhalten durch einen <a href="D%C3%A4mpfung" title="Dämpfung">Dämpfungszylinder</a>, das Newton-Element, dargestellt. Viskoelastisches Verhalten kann durch die Kombination zweier oder mehrerer dieser Elemente modelliert werden.

Die einfachsten viskoelastischen Modelle sind:

<ul><li>der Kelvin-Körper. Bei ihm sind Feder und Dämpfungszylinder parallel geschaltet. Bei <a href="Belastung_(Physik)" title="Belastung (Physik)">Belastung</a>, z. B. durch <a href="Dehnung" title="Dehnung">Dehnung</a>, wird die Verformung durch den Dämpfungszylinder gebremst und durch die Feder in ihrem Ausmaß begrenzt. Nach einer Entlastung geht der Körper bedingt durch das Hooke-Element wieder in seine Ausgangsposition zurück. Der Kelvin-Körper verformt sich also zeitabhängig wie eine Flüssigkeit, aber begrenzt und reversibel wie ein Festkörper.</li>

<li>der Maxwell-Körper. Er ergibt sich aus der Reihenschaltung von Hooke- und Newton-Element. Bei Belastung verformt sich die Feder sofort, danach beginnt die zeitabhängige und unbegrenzte viskose Verformung. Nach Entlastung bewegt sich nur die Feder zurück, der viskose Anteil bleibt bestehen. Es liegt also eine zeitabhängige, unbegrenzte, irreversible Verformung wie bei einer Flüssigkeit vor, allerdings gibt es auch einen zeitunabhängigen und reversiblen spontanelastischen Anteil wie bei einem Festkörper.</li></ul>

Komplexere Modelle viskoelastischen Verhaltens sind das Zenerm-, Zenerk-, Lethersich-, Jeffreys- und Burgers-Modell.

Zur quantitativen Beschreibung dienen außerdem der <a href="Komplexer_Schubmodul" title="Komplexer Schubmodul">komplexe Schubmodul</a> und der komplexe Elastizitätsmodul.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Lineare_Viskoelastizität">Lineare Viskoelastizität</h2></div>

In der Theorie linearer Viskoelastizität besteht ein linearer Zusammenhang zwischen der Spannung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma (t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma (t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/37d0ec2fbe49749b21f2d391656ef60cfb269735.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.979ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \sigma (t)}" loading="lazy"> und der Dehnung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon (t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon (t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dcc74fc545ab3f54592db8fccce157170d9a431d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.732ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon (t)}" loading="lazy"> bzw. der Dehnungsrate <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {\varepsilon }}(t)}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\varepsilon }}(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/277ae7fd86848eee72bb2b1e7064721206d4c634.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.005ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\varepsilon }}(t)}" loading="lazy">, welcher über ein Volterra Integralgleichung dargestellt werden kann:

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</msup>

</mrow>

<msup>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

</mrow>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma (t)=E(t)\varepsilon (0)+\int _{0}^{t}E(t-t'){\dot {\varepsilon }}(t')\mathrm {d} t'=E(0)\varepsilon (t)+\int _{0}^{t}{\dot {E}}(t-t')\varepsilon (t')\mathrm {d} t'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/80ad50ad4c496040cfb4dbd43ac9de8124cadf5e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:72.489ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \sigma (t)=E(t)\varepsilon (0)+\int _{0}^{t}E(t-t'){\dot {\varepsilon }}(t')\mathrm {d} t'=E(0)\varepsilon (t)+\int _{0}^{t}{\dot {E}}(t-t')\varepsilon (t')\mathrm {d} t'}" loading="lazy"></dd></dl>

mit der zeitabhängigen Federkonstante <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf5be62d9f63f5df52e8bc156f950d41e131d99f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.425ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle E(t)}" loading="lazy">, welche üblicherweise mit der Zeit abnimmt, um eine Relaxation im Material darzustellen. Die zweite Darstellung folgt hierbei aus der ersten mittels <a href="Partielle_Integration" title="Partielle Integration">partieller Integration</a>.

Diese Relation kann auch umgekehrt werden mittels

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</msup>

</mrow>

<msup>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

</mrow>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon (t)=C(t)\sigma (0)+\int _{0}^{t}C(t-t'){\dot {\sigma }}(t')\mathrm {d} t'=C(0)\sigma (t)+\int _{0}^{t}{\dot {C}}(t-t')\sigma (t')\mathrm {d} t'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1ca070830b99a931f5c195db761cbf480d6f2e48.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:72.918ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon (t)=C(t)\sigma (0)+\int _{0}^{t}C(t-t'){\dot {\sigma }}(t')\mathrm {d} t'=C(0)\sigma (t)+\int _{0}^{t}{\dot {C}}(t-t')\sigma (t')\mathrm {d} t'}" loading="lazy">,</dd></dl>

mit der Kriechfunktion (engl. creep function) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C(t)}</annotation>

</semantics>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Spezialfälle">Spezialfälle</h3></div>

Viele Materialmodelle erhält man für spezielle Formen der Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E(t)}</annotation>

</semantics>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Elastische_Körper">Elastische Körper</h4></div>

Für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E(t)=E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E(t)=E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59c238c6b7c954fba6d8e4d633d32420cf417a56.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.299ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle E(t)=E}" loading="lazy"> als zeitunabhängige Federkonstante erhält man (mittels <a href="Hauptsatz_der_Differential-_und_Integralrechnung" class="mw-redirect" title="Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung">Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung</a>) aus der obigen Formel das (eindimensionale) Hooksche Gesetz

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma (t)=E\cdot \varepsilon (t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a2c68a0067e819797eebc2f42acebd1f8fbf724b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.264ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \sigma (t)=E\cdot \varepsilon (t)}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Newtonsche_Flüssigkeit">Newtonsche Flüssigkeit</h4></div>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E(t)=2\eta \cdot \delta (t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ebf84d6d5942f0daa73b9379e14abc64bcea4e9a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.232ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle E(t)=2\eta \cdot \delta (t)}" loading="lazy"> mit der <a href="Delta-Distribution" title="Delta-Distribution">Delta-Distribution</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta (t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta (t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c050147a97868286252447ef73515c8108edd398.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.698ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \delta (t)}" loading="lazy"> erhält man die Gleichung

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma (t)=\eta \cdot {\dot {\varepsilon }}(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dd5cf20c8280a8a7b112556e8a02f0843a317473.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.93ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \sigma (t)=\eta \cdot {\dot {\varepsilon }}(t)}" loading="lazy"></dd></dl>

für eine (eindimensionale) Newtonsche Flüssigkeit mit Viskosität <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \eta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \eta }</annotation>

</semantics>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Kelvin-Körper">Kelvin-Körper</h4></div>

Den <a href="Kelvin-K%C3%B6rper" class="mw-redirect" title="Kelvin-Körper">Kelvin-Körper</a> erhält man aus einer additiven Kombination aus Hookeschem Gesetz und Newtonscher Flüssigkeit. So erhält man für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E(t)=E+2\eta \cdot \delta (t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E(t)=E+2\eta \cdot \delta (t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/30eb04b2b6c223104b467d828500f95590ca4052.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.848ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle E(t)=E+2\eta \cdot \delta (t)}" loading="lazy">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma (t)=E\cdot \varepsilon (t)+\eta \cdot {\dot {\varepsilon }}(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/260f3104f5b76ce93595dd57a65d78f652d1e60f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.958ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \sigma (t)=E\cdot \varepsilon (t)+\eta \cdot {\dot {\varepsilon }}(t)}" loading="lazy"></dd></dl>

als Spannung für einen Kelvin-Körper, welchen man aus Parallelschaltung einer Feder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy"> mit einem Dämpfungszylinder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \eta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \eta }</annotation>

</semantics>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Maxwell-Körper">Maxwell-Körper</h4></div>

Nimmt die Federkonstante exponentiell ab gemäß

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E(t)=E\cdot e^{-t/\tau }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6bdfd46207b341ce5eadf698d575f0b39f34465b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.838ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle E(t)=E\cdot e^{-t/\tau }}" loading="lazy"></dd></dl>

erhält man

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

<msup>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

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</mover>

</mrow>

<msup>

</msup>

</mrow>

<msup>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma (t)=E\cdot e^{-t/\tau }\cdot \left(\varepsilon (0)+\int _{0}^{t}e^{t'/\tau }{\dot {\varepsilon }}(t')\mathrm {d} t'\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68fb967af424b667b9528c47a6df9eaad4232af5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:42.684ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \sigma (t)=E\cdot e^{-t/\tau }\cdot \left(\varepsilon (0)+\int _{0}^{t}e^{t'/\tau }{\dot {\varepsilon }}(t')\mathrm {d} t'\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

für die Spannung und durch Ableiten die Differentialgleichung

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

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</mrow>

</mrow>

</msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

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</mrow>

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</msup>

</mrow>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\sigma }}(t)=-{\frac {E}{\tau }}\cdot e^{-t/\tau }\left(\varepsilon (0)+\int _{0}^{t}e^{t'/\tau }{\dot {\varepsilon }}(t')\mathrm {d} t'\right)+E\cdot {\dot {\varepsilon }}(t)=-{\frac {\sigma (t)}{\tau }}+E\cdot {\dot {\varepsilon }}(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d211cb9a687027be5f29be3264f88f64dc482afa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:74.358ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\sigma }}(t)=-{\frac {E}{\tau }}\cdot e^{-t/\tau }\left(\varepsilon (0)+\int _{0}^{t}e^{t'/\tau }{\dot {\varepsilon }}(t')\mathrm {d} t'\right)+E\cdot {\dot {\varepsilon }}(t)=-{\frac {\sigma (t)}{\tau }}+E\cdot {\dot {\varepsilon }}(t)}" loading="lazy"></dd></dl>

oder äquivalent

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

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</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\sigma }}(t)+{\frac {\sigma (t)}{\tau }}=E\cdot {\dot {\varepsilon }}(t)\qquad \Leftrightarrow \qquad {\dot {\varepsilon }}(t)={\frac {{\dot {\sigma }}(t)}{E}}+{\frac {\sigma (t)}{\eta }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9f6b6654ff2687fcd35fdd94014b447619a7e5d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:54.669ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\sigma }}(t)+{\frac {\sigma (t)}{\tau }}=E\cdot {\dot {\varepsilon }}(t)\qquad \Leftrightarrow \qquad {\dot {\varepsilon }}(t)={\frac {{\dot {\sigma }}(t)}{E}}+{\frac {\sigma (t)}{\eta }}}" loading="lazy"></dd></dl>

mit der Viskosität <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \eta =\tau \cdot E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \eta =\tau \cdot E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b87ad6b53988968516b3db327f8458dba61bbbd7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.925ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \eta =\tau \cdot E}" loading="lazy">. Integriert man die letzte Gleichung über die Zeit unter der Annahme <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon (0)=\sigma (0)/E}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon (0)=\sigma (0)/E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e4bde2a337e6f8a327a783e1acac1d2aee33c5d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.393ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon (0)=\sigma (0)/E}" loading="lazy"> erhält man

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon (t)={\frac {\sigma (t)}{E}}+\int _{0}^{t}{\frac {\sigma (t')}{\eta }}\mathrm {d} t',}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/221da6ec3a5773bca87e0315e122a827d1ca51f2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:27.126ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon (t)={\frac {\sigma (t)}{E}}+\int _{0}^{t}{\frac {\sigma (t')}{\eta }}\mathrm {d} t',}" loading="lazy"></dd></dl>

was der Reihenschaltung einer Hookschen Feder mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon _{H}(t)=\sigma (t)/E}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon _{H}(t)=\sigma (t)/E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6230900dbb35c58de4de7b06a82e8a6ef9238279.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.439ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon _{H}(t)=\sigma (t)/E}" loading="lazy"> und eines Dämpfungszylinders mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {\varepsilon }}_{D}(t)=\sigma (t)/\eta }">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\varepsilon }}_{D}(t)=\sigma (t)/\eta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/623f8ec9118d6b8d7fc39e7e9ea29ce63ab6ee5f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.007ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\varepsilon }}_{D}(t)=\sigma (t)/\eta }" loading="lazy"> mit Viskosität <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \eta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \eta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e4d701857cf5fbec133eebaf94deadf722537f64.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.169ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \eta }" loading="lazy"> entspricht, also einem <a href="Maxwell-K%C3%B6rper" title="Maxwell-Körper">Maxwell-Körper</a>. Verglichen mit der obigen Darstellung erhält man außerdem

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {C}}(t)={\frac {1}{\eta }},\quad C(0)={\frac {1}{E}}\quad \Rightarrow \quad C(t)={\frac {t}{\eta }}+{\frac {1}{E}}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/63747d2024191430a77728ed25a0b89eb6f29aae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:47.202ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\dot {C}}(t)={\frac {1}{\eta }},\quad C(0)={\frac {1}{E}}\quad \Rightarrow \quad C(t)={\frac {t}{\eta }}+{\frac {1}{E}}.}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Zenerm-Modell">Zenerm-Modell</h4></div>

Fügt man zum Maxwell-Modell noch eine weitere Federkonstante <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{\infty }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{\infty }}</annotation>

</semantics>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E(t)=E_{\infty }+E_{1}\cdot e^{-t/\tau },}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/53f1b52641e6eed020749de4318c1c1354e9f2df.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.909ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle E(t)=E_{\infty }+E_{1}\cdot e^{-t/\tau },}" loading="lazy"></dd></dl>

erhält man das <a href="Zener-Modell" class="mw-redirect" title="Zener-Modell">Zenerm-Modell</a>, welches aus einer Feder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{\infty }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{\infty }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68cacbe04c10fce753db60f346f92a34e1567d1e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.591ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E_{\infty }}" loading="lazy"> besteht, welches parallel geschaltet ist zu einem Maxwell-Element bestehend aus der Feder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ac42446bcd2cbb76ec8fe2895635d328da22e26.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.769ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E_{1}}" loading="lazy"> und einem Dämpfungszylinder mit Viskosität <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \eta =\tau \cdot E_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \eta =\tau \cdot E_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0dd212cfd19538a9451446c50b904944b768d3d0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.918ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \eta =\tau \cdot E_{1}}" loading="lazy">. Entsprechend bleibt für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t\rightarrow \infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t\rightarrow \infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b543f76f961ec3f52d78fa3d72c3d87a521dd3a7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.777ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t\rightarrow \infty }" loading="lazy"> bei konstanter Dehnung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon (t)=\varepsilon _{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon (t)=\varepsilon _{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75c1bd434039cdfc06bbabd2b74e54477742b3ec.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.969ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon (t)=\varepsilon _{0}}" loading="lazy">die Spannung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma _{\infty }=\lim _{t\rightarrow \infty }\sigma (t)=2E_{2}\varepsilon _{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{\infty }=\lim _{t\rightarrow \infty }\sigma (t)=2E_{2}\varepsilon _{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5a7f706e389da65214fac133fc67810fd7cdfaa7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:23.715ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{\infty }=\lim _{t\rightarrow \infty }\sigma (t)=2E_{2}\varepsilon _{0}}" loading="lazy"> erhalten. Für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/43469ec032d858feae5aa87029e22eaaf0109e9c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.101ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle t=0}" loading="lazy"> entspricht <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{0}=G(0)=E_{1}+E_{\infty }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{0}=G(0)=E_{1}+E_{\infty }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b413e117bafb2a6c315384ae976c3ec3a6009d04.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.965ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle E_{0}=G(0)=E_{1}+E_{\infty }}" loading="lazy"> der Federkonstante.

Allgemein erhält man die Spannung

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

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</mrow>

</msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</msup>

</mrow>

<msup>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma (t)=E_{\infty }\cdot \varepsilon (t)+E_{1}\cdot e^{-t/\tau }\cdot \left(\varepsilon (0)+\int _{0}^{t}e^{t'/\tau }{\dot {\varepsilon }}(t')\mathrm {d} t'\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/56783c4181793323e64aba8547cc785d5b907a2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:55.52ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \sigma (t)=E_{\infty }\cdot \varepsilon (t)+E_{1}\cdot e^{-t/\tau }\cdot \left(\varepsilon (0)+\int _{0}^{t}e^{t'/\tau }{\dot {\varepsilon }}(t')\mathrm {d} t'\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

und durch Ableiten dieser Gleichung nach der Zeit

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

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</mover>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\sigma }}(t)=E_{\infty }\cdot {\dot {\varepsilon }}(t)-{\frac {E_{1}}{\tau }}\cdot e^{-t/\tau }\cdot \left(\varepsilon (0)+\int _{0}^{t}e^{t'/\tau }{\dot {\varepsilon }}(t')\mathrm {d} t'\right)+E_{1}{\dot {\varepsilon }}(t)=(E_{1}+E_{\infty })\cdot {\dot {\varepsilon }}(t)-{\frac {\sigma (t)-E_{\infty }\varepsilon (t)}{\tau }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8b0aaf63442c1cd6cd4b97524dc91e3fa26f0ff5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:103.854ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\sigma }}(t)=E_{\infty }\cdot {\dot {\varepsilon }}(t)-{\frac {E_{1}}{\tau }}\cdot e^{-t/\tau }\cdot \left(\varepsilon (0)+\int _{0}^{t}e^{t'/\tau }{\dot {\varepsilon }}(t')\mathrm {d} t'\right)+E_{1}{\dot {\varepsilon }}(t)=(E_{1}+E_{\infty })\cdot {\dot {\varepsilon }}(t)-{\frac {\sigma (t)-E_{\infty }\varepsilon (t)}{\tau }}}" loading="lazy"></dd></dl>

Durch einfach Umformungen erhält man die Differentialgleichung

<mover>

</mover>

</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\sigma }}(t)+{\frac {E_{1}}{\eta }}\sigma (t)={\frac {E_{1}E_{\infty }}{\eta }}\varepsilon (t)+(E_{1}+E_{\infty })\cdot {\dot {\varepsilon }}(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c446218a1aff8ee884b9540ef215d9a23a0fc147.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:47.964ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\sigma }}(t)+{\frac {E_{1}}{\eta }}\sigma (t)={\frac {E_{1}E_{\infty }}{\eta }}\varepsilon (t)+(E_{1}+E_{\infty })\cdot {\dot {\varepsilon }}(t)}" loading="lazy">,</dd></dl>

welche nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma (t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma (t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/37d0ec2fbe49749b21f2d391656ef60cfb269735.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.979ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \sigma (t)}" loading="lazy"> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon (t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon (t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dcc74fc545ab3f54592db8fccce157170d9a431d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.732ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon (t)}" loading="lazy"> gelöst werden kann, falls man die andere Größe kennt. Unter der Annahme <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma (0)=(E_{\infty }+E_{1})\cdot \varepsilon (0)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma (0)=(E_{\infty }+E_{1})\cdot \varepsilon (0)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/22a2f41bb80820c388942d30a4f4400d565f9ab1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.144ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \sigma (0)=(E_{\infty }+E_{1})\cdot \varepsilon (0)}" loading="lazy"> erhält man durch Lösen

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

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<mover>

</mover>

</mrow>

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</msup>

</mrow>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon (t)={\frac {\sigma (t)}{E_{0}}}+\int _{0}^{t}{\frac {E_{1}}{{\tilde {\tau }}E_{0}E_{\infty }}}e^{-(t-t')/{\tilde {\tau }}}\sigma (t')\mathrm {d} t'={\frac {E_{0}-E_{1}e^{-t/{\tilde {\tau }}}}{E_{0}E_{\infty }}}\sigma (0)+\int _{0}^{t}{\frac {E_{0}-E_{1}e^{-(t-t')/{\tilde {\tau }}}}{E_{0}E_{\infty }}}{\dot {\sigma }}(t')\mathrm {d} t'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/42710215f35df32a852f8452023f42b2f5f1629d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:96.39ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon (t)={\frac {\sigma (t)}{E_{0}}}+\int _{0}^{t}{\frac {E_{1}}{{\tilde {\tau }}E_{0}E_{\infty }}}e^{-(t-t')/{\tilde {\tau }}}\sigma (t')\mathrm {d} t'={\frac {E_{0}-E_{1}e^{-t/{\tilde {\tau }}}}{E_{0}E_{\infty }}}\sigma (0)+\int _{0}^{t}{\frac {E_{0}-E_{1}e^{-(t-t')/{\tilde {\tau }}}}{E_{0}E_{\infty }}}{\dot {\sigma }}(t')\mathrm {d} t'}" loading="lazy"></dd></dl>

mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tilde {\tau }}={\frac {\eta E_{0}}{E_{1}E_{\infty }}}={\frac {E_{0}}{E_{\infty }}}\tau }">

<mover>

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</mrow>

</msub>

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</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {\tau }}={\frac {\eta E_{0}}{E_{1}E_{\infty }}}={\frac {E_{0}}{E_{\infty }}}\tau }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0657ce6611a6afc2b453acb33593889822657e1c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:20.389ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {\tau }}={\frac {\eta E_{0}}{E_{1}E_{\infty }}}={\frac {E_{0}}{E_{\infty }}}\tau }" loading="lazy">. Hieraus folgt unmittelbar

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</mrow>

</msub>

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</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C(t)={\frac {E_{0}-E_{1}e^{-t/{\tilde {\tau }}}}{E_{0}E_{\infty }}}\quad {\text{mit}}\quad C(0)={\frac {1}{E_{0}}}\quad {\text{und}}\quad \lim _{t\rightarrow \infty }C(t)={\frac {1}{E_{\infty }}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3e4df1bbbeceff2ce18566248021970c39feeb7b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:66.417ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle C(t)={\frac {E_{0}-E_{1}e^{-t/{\tilde {\tau }}}}{E_{0}E_{\infty }}}\quad {\text{mit}}\quad C(0)={\frac {1}{E_{0}}}\quad {\text{und}}\quad \lim _{t\rightarrow \infty }C(t)={\frac {1}{E_{\infty }}}}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Prony-Reihe">Prony-Reihe</h4></div>

Als Verallgemeinerung das Zenerm-Modell wird oft die Prony-Reihe mit

<msub>

</mrow>

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</munderover>

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<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G(t)=E_{\infty }+\sum _{k=1}^{N}E_{k}e^{-t/\tau _{k}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3e55222b54da1f4c69c099d026a2f83efb8ffd08.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:26.139ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle G(t)=E_{\infty }+\sum _{k=1}^{N}E_{k}e^{-t/\tau _{k}}}" loading="lazy"></dd></dl>

verwendet, welche der Parallelschaltung einer Hookschen Feder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{\infty }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{\infty }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68cacbe04c10fce753db60f346f92a34e1567d1e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.591ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E_{\infty }}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy"> verschiedenen Maxwell-Elementen jeweils mit Federkonstante <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7587849b44d775263271e89499f4327eeac5dc81.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.804ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E_{k}}" loading="lazy"> und Viskosität <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \eta _{k}=\tau _{k}\cdot E_{k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \eta _{k}=\tau _{k}\cdot E_{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/567cb5c3278c858253e0851ab813c6e5fd26d5ca.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.931ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \eta _{k}=\tau _{k}\cdot E_{k}}" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k=1,\dots ,N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k=1,\dots ,N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4868d155972aa0d17a9024da88fb9081b6cd4798.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.714ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k=1,\dots ,N}" loading="lazy"> entsprechen. Die verschiedenen Abfallzeiten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau _{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau _{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/814ca8b33360ac3b7db8e9435271b5654175c853.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.816ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \tau _{i}}" loading="lazy"> können als unterschiedlich schnelle Relaxationsvorgänge im Material betrachtet werden. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{\infty }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{\infty }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68cacbe04c10fce753db60f346f92a34e1567d1e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.591ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E_{\infty }}" loading="lazy"> stellt wiederum die Federkonstante für sehr große Zeiten (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t\rightarrow \infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t\rightarrow \infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b543f76f961ec3f52d78fa3d72c3d87a521dd3a7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.777ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t\rightarrow \infty }" loading="lazy">) dar, während man für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t=0}</annotation>

</semantics>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{0}=E_{\infty }+\sum _{k=0}^{N}E_{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/15d4387c266fcde79268dcb8cdf07eaa283abe54.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:18.845ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle E_{0}=E_{\infty }+\sum _{k=0}^{N}E_{k}}" loading="lazy"></dd></dl>

als Federkonstante erhält. Offensichtlich erhält man für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N=1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/85982022b9eb1f295b44de55023687a490db0a39.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.325ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N=1}" loading="lazy"> oder für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau _{1}=\dots =\tau _{N}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau _{1}=\dots =\tau _{N}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f655b15707659482e14645429eb3d5b0b50c1e43.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.698ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \tau _{1}=\dots =\tau _{N}}" loading="lazy"> das Zenerm-Modell. Im Gegensatz zu den vorherigen Modellen gibt es keine einfache Differentialgleichung, die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma (t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma (t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/37d0ec2fbe49749b21f2d391656ef60cfb269735.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.979ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \sigma (t)}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon (t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon (t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dcc74fc545ab3f54592db8fccce157170d9a431d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.732ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon (t)}" loading="lazy"> miteinander verknüpft und auch die Berechnung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C(t)}</annotation>

</semantics>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Komplexes_Schubmodul">Komplexes Schubmodul</h3></div>

In der <a href="Rheologie" title="Rheologie">Rheologie</a> wird oft nicht das zeitabhängige Schubmodul <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e3d6c09ba5569413364689bf4837c7b71ef0892f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.476ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle G(t)}" loading="lazy">, welches analog zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E(t)}</annotation>

</semantics>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</msup>

</mrow>

<msup>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

</mrow>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma (t)=G(t)\varepsilon (0)+\int _{0}^{t}G(t-t'){\dot {\varepsilon }}(t')\mathrm {d} t'=G(0)\varepsilon (t)+\int _{0}^{t}{\dot {G}}(t-t')\varepsilon (t')\mathrm {d} t',}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/69bb6d610a1df85a488444d8aa3768f4a1726afa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:73.34ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \sigma (t)=G(t)\varepsilon (0)+\int _{0}^{t}G(t-t'){\dot {\varepsilon }}(t')\mathrm {d} t'=G(0)\varepsilon (t)+\int _{0}^{t}{\dot {G}}(t-t')\varepsilon (t')\mathrm {d} t',}" loading="lazy"></dd></dl>

wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon (t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon (t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dcc74fc545ab3f54592db8fccce157170d9a431d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.732ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon (t)}" loading="lazy"> die Scherdeformation und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma (t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma (t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/37d0ec2fbe49749b21f2d391656ef60cfb269735.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.979ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \sigma (t)}" loading="lazy"> die Scherspannung ist, betrachtet, sondern das <a href="Komplexer_Schubmodul" title="Komplexer Schubmodul">komplexe Schubmodul</a>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {G}}(\omega )=G'(\omega )+iG''(\omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4397dc09082297fbaf9ae63ce4e327ac0b87d370.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.809ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {G}}(\omega )=G'(\omega )+iG''(\omega )}" loading="lazy"></dd></dl>

als Funktion der (Kreis-)Frequenz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48eff443f9de7a985bb94ca3bde20813ea737be8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.446ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \omega }" loading="lazy">, welche z. B. in einem <a href="Scherrheometer" title="Scherrheometer">Scherrheometer</a> eingestellt werden kann. Den Realteil <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G'(\omega )=Re({\tilde {G}}(\omega ))}">

<msup>

</msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G'(\omega )=Re({\tilde {G}}(\omega ))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7e7003b62267289238e2d54136a861294993614a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.604ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle G'(\omega )=Re({\tilde {G}}(\omega ))}" loading="lazy"> bezeichnet man hierbei als Speichermodul und ist proportional zum elastischen Schubmodul <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy"> und der als Verlustmodul bezeichnete Imaginärteil <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G''(\omega )=Im({\tilde {G}}(\omega ))}">

<msup>

</msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G''(\omega )=Im({\tilde {G}}(\omega ))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a7021599b0d9e38b2e2610aaf0807c619aa150b4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.421ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle G''(\omega )=Im({\tilde {G}}(\omega ))}" loading="lazy"> entspricht dem Produkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega \cdot \eta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega \cdot \eta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/62aa3bb58eef69c1976b27cd00443107b72a8778.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.294ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \omega \cdot \eta }" loading="lazy"> aus der Frequenz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48eff443f9de7a985bb94ca3bde20813ea737be8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.446ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \omega }" loading="lazy"> und der Viskosität <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \eta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \eta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e4d701857cf5fbec133eebaf94deadf722537f64.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.169ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \eta }" loading="lazy">. Während man einfach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tilde {G}}(\omega )=\mu +i\omega \eta }">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {G}}(\omega )=\mu +i\omega \eta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8237180bca52ed182c2b112e2b4854c858f2234f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.84ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {G}}(\omega )=\mu +i\omega \eta }" loading="lazy"> für einen Kelvin-Körper erhält, weisen komplexe Materialien eine deutlich kompliziertere Frequenzabhängigkeit auf.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Zusammenhang_zwischen_G(t)_und_G̃(ω)">Zusammenhang zwischen G(t) und G̃(ω)</h4></div>

Das komplexe, frequenzabhängige Schubmodul <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tilde {G}}(\omega )}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {G}}(\omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1d846ffc40dbf3978caa2e37f038622c0069484f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.082ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {G}}(\omega )}" loading="lazy"> ist mit dem (zeitlich relaxierendem) Schubmodul G(t) verknüpft über die <a href="Laplace-Transformation" title="Laplace-Transformation">Laplace-Transformation</a>. Seien hierzu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {G}}(s)={\mathcal {L}}\left\{G(t)\right\}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {G}}(s)={\mathcal {L}}\left\{G(t)\right\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/60dd934bf282088aab605cdbad6deaf3a8813000.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.616ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {G}}(s)={\mathcal {L}}\left\{G(t)\right\}}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\sigma }}(s)={\mathcal {L}}\left\{\sigma (t)\right\}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\sigma }}(s)={\mathcal {L}}\left\{\sigma (t)\right\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/057ae5d644856270f4903b82bff3821ee06394b6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.622ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\sigma }}(s)={\mathcal {L}}\left\{\sigma (t)\right\}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\varepsilon }}(s)={\mathcal {L}}\left\{\varepsilon (t)\right\}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\varepsilon }}(s)={\mathcal {L}}\left\{\varepsilon (t)\right\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9d9e016f5d7a97c309a2ccf52a10c1b5f8bc3d04.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.402ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\varepsilon }}(s)={\mathcal {L}}\left\{\varepsilon (t)\right\}}" loading="lazy"> die Laplace-Transformationen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e3d6c09ba5569413364689bf4837c7b71ef0892f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.476ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle G(t)}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma (t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma (t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/37d0ec2fbe49749b21f2d391656ef60cfb269735.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.979ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \sigma (t)}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon (t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon (t)}</annotation>

</semantics>

<mtr>

<mtd>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

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<mover>

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</mrow>

<msup>

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</mrow>

<msup>

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</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

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</mrow>

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</mrow>

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</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\sigma }}(s)=&{\hat {G}}(s)\cdot \varepsilon (0)+{\mathcal {L}}\left\{\int _{0}^{t}G(t-t')\cdot {\dot {\varepsilon }}(t')\mathrm {d} t'\right\}\\=&{\hat {G}}(s)\cdot \varepsilon (0)+{\hat {G}}(s)\cdot {\mathcal {L}}\left\{{\dot {\varepsilon }}(t)\right\}\\=&{\hat {G}}(s)\cdot \varepsilon (0)+{\hat {G}}(s)\cdot \left(s\cdot {\hat {\varepsilon }}(s)-\varepsilon (0)\right)\\=&s\cdot {\hat {G}}(s)\cdot {\hat {\varepsilon }}(s),\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/13fff012cd125f237b443f89c9dddb7cb1aabbde.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -7.838ex; width:47.916ex; height:16.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\sigma }}(s)=&{\hat {G}}(s)\cdot \varepsilon (0)+{\mathcal {L}}\left\{\int _{0}^{t}G(t-t')\cdot {\dot {\varepsilon }}(t')\mathrm {d} t'\right\}\\=&{\hat {G}}(s)\cdot \varepsilon (0)+{\hat {G}}(s)\cdot {\mathcal {L}}\left\{{\dot {\varepsilon }}(t)\right\}\\=&{\hat {G}}(s)\cdot \varepsilon (0)+{\hat {G}}(s)\cdot \left(s\cdot {\hat {\varepsilon }}(s)-\varepsilon (0)\right)\\=&s\cdot {\hat {G}}(s)\cdot {\hat {\varepsilon }}(s),\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

wobei die <a href="Laplace-Transformation#Allgemeine_Eigenschaften" title="Laplace-Transformation">Eigenschaften der Laplace-Transformation</a> (Faltungstheorem, Laplace-Transformation der Ableitung) verwendet wurden. Setzt man <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s=i\omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s=i\omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a5d22a51fb4400f3d4c9977ab83dce57351807af.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.437ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle s=i\omega }" loading="lazy"> und definiert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tilde {\sigma }}(\omega ):={\hat {\sigma }}(i\omega )}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {\sigma }}(\omega ):={\hat {\sigma }}(i\omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/21255c1db632c4efac7a95a5763a824d1927d352.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.717ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {\sigma }}(\omega ):={\hat {\sigma }}(i\omega )}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tilde {\varepsilon }}(\omega ):={\hat {\varepsilon }}(i\omega )}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {\varepsilon }}(\omega ):={\hat {\varepsilon }}(i\omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/71f1fc72af4c2ea356091604778a58f7703141d8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.77ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {\varepsilon }}(\omega ):={\hat {\varepsilon }}(i\omega )}" loading="lazy"> als frequenzabhängige Schubspannung und Scherdeformation, ist

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {G}}(\omega ):={\frac {{\tilde {\sigma }}(\omega )}{{\tilde {\varepsilon }}(\omega )}}=i\omega \cdot {\hat {G}}(i\omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/750f9cf45db706c4b7fffec6296f77e87fc0ce33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:27.184ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {G}}(\omega ):={\frac {{\tilde {\sigma }}(\omega )}{{\tilde {\varepsilon }}(\omega )}}=i\omega \cdot {\hat {G}}(i\omega )}" loading="lazy"></dd></dl>

definitionsgemäß das komplexe Schubmodul. Diese Gleichung verknüpft schließlich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tilde {G}}(\omega )}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {G}}(\omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1d846ffc40dbf3978caa2e37f038622c0069484f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.082ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {G}}(\omega )}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G(t)}</annotation>

</semantics>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Zusammenhang_zwischen_G(t)_und_C(t)">Zusammenhang zwischen G(t) und C(t)</h4></div>

Analog erhält man

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\varepsilon }}(s)=s\cdot {\hat {C}}(s)\cdot {\hat {\sigma }}(s)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eb9ae629714d018e6eee8099c0a4c95cc648bb38.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.698ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\varepsilon }}(s)=s\cdot {\hat {C}}(s)\cdot {\hat {\sigma }}(s)}" loading="lazy"></dd></dl>

aus der Laplace-Transformation der Gleichung

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</msup>

</mrow>

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</msubsup>

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</mrow>

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</msup>

<msup>

</msup>

</mrow>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3ffd4bd0b7ff74f894c15b894617548af46ba1a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:73.565ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon (t)=C(t)\sigma (0)+\int _{0}^{t}C(t-t'){\dot {\sigma }}(t')\mathrm {d} t'=C(0)\sigma (t)+\int _{0}^{t}{\dot {C}}(t-t')\sigma (t')\mathrm {d} t',}" loading="lazy"></dd></dl>

und somit

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

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</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {C}}(\omega ):={\frac {1}{{\tilde {G}}(\omega )}}={\frac {{\tilde {\varepsilon }}(\omega )}{{\tilde {\sigma }}(\omega )}}=i\omega \cdot {\hat {C}}(i\omega )={\frac {1}{i\omega \cdot {\hat {G}}(i\omega )}}\quad \Leftrightarrow \quad {\tilde {G}}(\omega )={\frac {1}{{\tilde {C}}(\omega )}}={\frac {{\tilde {\sigma }}(\omega )}{{\tilde {\varepsilon }}(\omega )}}=i\omega \cdot {\hat {G}}(i\omega )={\frac {1}{i\omega \cdot {\hat {C}}(i\omega )}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0b0c95af7791c8d8f49cf3a8f4f5ff6973214f87.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:107.265ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {C}}(\omega ):={\frac {1}{{\tilde {G}}(\omega )}}={\frac {{\tilde {\varepsilon }}(\omega )}{{\tilde {\sigma }}(\omega )}}=i\omega \cdot {\hat {C}}(i\omega )={\frac {1}{i\omega \cdot {\hat {G}}(i\omega )}}\quad \Leftrightarrow \quad {\tilde {G}}(\omega )={\frac {1}{{\tilde {C}}(\omega )}}={\frac {{\tilde {\sigma }}(\omega )}{{\tilde {\varepsilon }}(\omega )}}=i\omega \cdot {\hat {G}}(i\omega )={\frac {1}{i\omega \cdot {\hat {C}}(i\omega )}}}" loading="lazy"></dd></dl>

bzw.

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

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</mrow>

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</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {C}}(s)={\frac {{\hat {\varepsilon }}(s)}{s\cdot {\hat {\sigma }}(s)}}={\frac {1}{s^{2}}}\cdot {\frac {1}{{\hat {G}}(s)}}\quad \Leftrightarrow \quad {\hat {G}}(s)={\frac {1}{s^{2}}}\cdot {\frac {1}{{\hat {C}}(s)}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d267958ce5d72f39cb9685c10bd04cef9726fb7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:55.167ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle {\hat {C}}(s)={\frac {{\hat {\varepsilon }}(s)}{s\cdot {\hat {\sigma }}(s)}}={\frac {1}{s^{2}}}\cdot {\frac {1}{{\hat {G}}(s)}}\quad \Leftrightarrow \quad {\hat {G}}(s)={\frac {1}{s^{2}}}\cdot {\frac {1}{{\hat {C}}(s)}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Damit sich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\hat {C}}(s)\right\}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\hat {C}}(s)\right\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6cf685f997f5a150967a468fa136b7d5358566af.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:19.604ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle C(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\hat {C}}(s)\right\}}" loading="lazy"> mithilfe der inversen Laplace-Transformation <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8a0067e9f5f25b8a53746c33679f86814cfb61b2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.937ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}}" loading="lazy"> aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e3d6c09ba5569413364689bf4837c7b71ef0892f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.476ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle G(t)}" loading="lazy"> bzw. dessen Laplace-Transformierten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {G}}(s)}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {G}}(s)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9cadea78a2832d8c2d748d8086387dd6ee839942.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.726ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {G}}(s)}" loading="lazy"> berechnen. Die Umkehrung gilt ebenso, falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81b89c87b051670a491c44ee8d4e49cf8aefbcf5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.415ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C(t)}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {C}}(s)}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {C}}(s)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/621aab9ae032e5b68800039c48516d89ecc519e1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.666ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {C}}(s)}" loading="lazy"> bekannt sind. Jedoch ist es praktisch in den meisten Fällen sehr schwierig die inverse Laplace-Transformation zu berechnen.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Übergang_zwischen_viskosem_und_festem_Stoffverhalten">Übergang zwischen viskosem und festem Stoffverhalten</h2></div>

Alle Flüssigkeiten und Feststoffe können wie viskoelastische Materialien betrachtet werden, indem ihr Speicher- und Verlustmodul, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G'}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/76634fad5818a777669a77cd8c86d1d816e4c402.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.511ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle G'}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G''}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G''}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5a37ec377e9bb29c7dd95a844c1b230fbbebea75.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.964ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle G''}" loading="lazy">, bzw. ihr <a href="Verlustfaktor" title="Verlustfaktor">Verlustfaktor</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tan \delta =G''/G'}">

<msup>

</msup>

</mrow>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tan \delta =G''/G'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/39d32ba8f5dcd46bd16e63931f891bb484b157d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.532ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \tan \delta =G''/G'}" loading="lazy"> angegeben werden.

Bei ideal-viskosen Flüssigkeiten (<a href="Newtonsches_Fluid" title="Newtonsches Fluid">newtonsches Fluid</a>) ist der Speichermodul sehr klein gegenüber dem Verlustmodul, bei ideal-elastischen Festkörpern dagegen, die dem <a href="Hookesches_Gesetz" title="Hookesches Gesetz">hookeschen Gesetz</a> gehorchen, ist der Verlustmodul sehr klein gegenüber dem Speichermodul.

Viskoelastische Materialien weisen sowohl einen messbaren Speichermodul als auch einen messbaren Verlustmodul auf. Falls der Speichermodul größer ist als der Verlustmodul, spricht man von Feststoffen, andernfalls von Flüssigkeiten.

<th>

</th>

<th colspan="2">Flüssigkeiten

</th>

<th>Sol-Gel-Übergang

</th>

<th colspan="2">Feststoffe

</th></tr>

<tr>

<td style="text-align:left">Materialverhalten

</td>

<td>ideal-viskos

</td>

<td colspan="3">viskoelastisch

</td>

<td>ideal-elastisch

</td></tr>

<tr>

<td style="text-align:left">Speicher- und Verlustmodul

</td>

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G''\gg G'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c85a05c6b28a05b1e511ad5c7d5e1812f4c77445.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.089ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle G''\gg G'}" loading="lazy">

</td>

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G''>G'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c813e0bcc24d8d378504c3f4046c6db1db608261.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.574ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle G''>G'}" loading="lazy">

</td>

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G''=G'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6383e300364afac87eb2ec304634425f6a1f5837.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.574ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle G''=G'}" loading="lazy">

</td>

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G''<G'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/97bf89cbc98a41e7bd52459bcc1a0231d506d038.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.574ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle G''<G'}" loading="lazy">

</td>

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G''\ll G'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9531ca615eaced14644024d2dd1dcaf3e0de0193.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.089ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle G''\ll G'}" loading="lazy">

</td></tr>

<tr>

<td style="text-align:left">Verlustfaktor

</td>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tan \delta \gg 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d329def44ba7f1b55ee22853600ee12e346851b6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.572ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \tan \delta \gg 1}" loading="lazy">

</td>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tan \delta >1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a9a251a7578034e1dea97d55a34be1b77a7a7ace.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.056ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \tan \delta >1}" loading="lazy">

</td>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tan \delta =1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fb3038518cc0cc9c8c44333c7092b084e02a6a86.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.056ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \tan \delta =1}" loading="lazy">

</td>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tan \delta <1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a49717d3341da3afa57ce9ea525645626f8b974.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.056ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \tan \delta <1}" loading="lazy">

</td>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tan \delta \ll 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/55f4299c2d0722aeed31423dd3d4ad2d7bf63a63.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.572ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \tan \delta \ll 1}" loading="lazy">

</td></tr>

<tr>

<td style="text-align:left">Stoffgesetz

</td>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau =\eta \cdot {\dot {\gamma }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c35fc6cd5f75bf597646c81cd425fbffd32435dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.411ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \tau =\eta \cdot {\dot {\gamma }}}" loading="lazy">

</td>

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau =f(G',G'',\gamma ,{\dot {\gamma }})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/471e59b146c460ee12f064cef81590b2edc3f963.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.49ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \tau =f(G',G'',\gamma ,{\dot {\gamma }})}" loading="lazy">

</td>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau =G\cdot \gamma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d82f2d1321fb093dcea9d8355bd46d729db34add.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.069ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \tau =G\cdot \gamma }" loading="lazy">

</td></tr></tbody></table>

In der letzten Zeile bedeuten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/38a7dcde9730ef0853809fefc18d88771f95206c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.202ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \tau }" loading="lazy"> die Scherspannung, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.262ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \gamma }" loading="lazy"> die Scherung und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {\gamma }}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\gamma }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c250a2cd0b68db26e9663686345f6cee8074d5f0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.262ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\gamma }}}" loading="lazy"> ihre zeitliche Änderung (siehe Skizze unter <a href="Komplexer_Schubmodul" title="Komplexer Schubmodul">komplexer Schubmodul</a>). Die Viskosität <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \eta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \eta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e4d701857cf5fbec133eebaf94deadf722537f64.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.169ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \eta }" loading="lazy"> hängt mit dem Imaginärteil <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G''}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G''}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5a37ec377e9bb29c7dd95a844c1b230fbbebea75.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.964ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle G''}" loading="lazy"> und der Elastizitätsmodul <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy"> mit dem Realteil <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G'}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G'}</annotation>

</semantics>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ursachen">Ursachen</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bei_Polymeren">Bei Polymeren</h3></div>

Die Viskoelastizität von Polymeren beruht auf einer verzögerten Gleichgewichtseinstellung der <a href="Makromolek%C3%BCl" title="Makromolekül">Makromoleküle</a> zueinander bei oder nach mechanischer Belastung. Der Anteil der jeweiligen <a href="Dehnung" title="Dehnung">Dehnungskomponenten</a> an der Gesamtdehnung wird bestimmt durch Sekundärbindungen (<a href="Dipol-Dipol-Kr%C3%A4fte" title="Dipol-Dipol-Kräfte">Dipol-</a>, <a href="Wasserstoffbr%C3%BCcken-Bindung" class="mw-redirect" title="Wasserstoffbrücken-Bindung">Wasserstoffbrücken-</a> sowie <a href="Van-der-Waals-Kr%C3%A4fte" title="Van-der-Waals-Kräfte">Van-der-Waals-Bindung</a>) und Molekülverhakungen. Die zeitabhängige Dehnungskomponente wird bestimmt durch Streck-, Entknäuelungs- und Entschlaufungsvorgänge.

Das reversible elastische Verhalten wird durch die <a href="Entropie-Elastizit%C3%A4t" class="mw-redirect" title="Entropie-Elastizität">Entropie-Elastizität</a> bedingt. Je nach Temperatur, <a href="Beanspruchung_(Technische_Mechanik)" title="Beanspruchung (Technische Mechanik)">Beanspruchungs</a>dauer und -geschwindigkeit kommt es zu <a href="Irreversibler_Prozess" title="Irreversibler Prozess">irreversiblen</a> viskosen Molekülabgleitungen.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bei_Metallen_und_Keramiken">Bei Metallen und Keramiken</h3></div>

In <a href="Kristallin" title="Kristallin">kristallinen</a> Festkörpern wie <a href="Metalle" title="Metalle">Metallen</a> oder <a href="Keramik" title="Keramik">Keramiken</a> sind überwiegend <a href="Gitterfehler" title="Gitterfehler">Defekte</a> wie <a href="Zwischengitteratom" title="Zwischengitteratom">Zwischengitteratome</a> oder <a href="Versetzung_(Materialwissenschaft)" title="Versetzung (Materialwissenschaft)">Versetzungen</a> für eine verzögerte Dehnung und damit für viskoelastisches Verhalten verantwortlich. Meist sind die Abweichungen von der idealen Elastizität hier deutlich kleiner als bei Kunststoffen.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Viskoelastische_Experimente">Viskoelastische Experimente</h2></div>

<ul><li>Der <a href="Schwingungsrheometrie" title="Schwingungsrheometrie">Oszillationsversuch</a>: Messung von Spannung und Dehnung bei <a href="Sinus_und_Kosinus" title="Sinus und Kosinus">sinus</a>förmiger Belastung.</li>

<li>Der <a href="Kriechversuch" class="mw-redirect" title="Kriechversuch">Kriechversuch</a> (Retardation): Messung der zeitlich veränderlichen Dehnung bei konstanter Spannung.</li>

<li>Die <a href="Spannungsrelaxation" title="Spannungsrelaxation">Spannungsrelaxation</a>: Messung der zeitlich veränderlichen Spannung bei / nach sprunghafter Dehnung.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Spannungs-Dehnungs-Diagramm" title="Spannungs-Dehnungs-Diagramm">Spannungs-Dehnungs-Diagramm</a></li>

<li><a href="Rei%C3%9Fl%C3%A4nge" title="Reißlänge">Reißlänge</a></li>

<li><a href="Dynamisch-mechanische_Analyse" title="Dynamisch-mechanische Analyse">Dynamisch-mechanische Analyse</a></li>

<li><a href="Anomale_Diffusion" title="Anomale Diffusion">Anomale Diffusion</a></li>

<li><a href="Weissenberg-Zahl" title="Weissenberg-Zahl">Weissenberg-Zahl</a></li>

<li><a href="Strukturviskosit%C3%A4t" title="Strukturviskosität">Strukturviskosität</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Eintrag zu <a rel="nofollow" class="external text" href="https://roempp.thieme.de/lexicon/RD-22-00917">Viskoelastizität</a>. In: <a href="R%C3%B6mpp_Online" class="mw-redirect" title="Römpp Online">Römpp Online</a>. Georg Thieme Verlag, abgerufen am 7. Dezember 2011.</li>

<li>M.S. Blanter, I.S. Golovin, H. Neuhäuser, H.-R. Sinning: <cite style="font-style:italic">Internal friction in metallic materials: a handbook</cite>. 1. Auflage. Springer, 2007, ISBN 978-3-540-68757-3.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Viskoelastizit%C3%A4t&rft.au=M.S.+Blanter%2C+I.S.+Golovin%2C+H.+Neuh%C3%A4user%2C+...&rft.btitle=Internal+friction+in+metallic+materials%3A+a+handbook&rft.date=2007&rft.edition=1.&rft.genre=book&rft.isbn=9783540687573&rft.pub=Springer" style="display:none"> </li></ul></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2025-09-07" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Viskoelastizit%C3%A4t&oldid=259542400">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>